ಗಣಿತ ಕಬ್ಬಿಣದ ಕಡಲೆಯಾದರೆ, ನೀ ಉಕ್ಕಿನ ಬಸವನಾಗು

Team Udayavani, Feb 24, 2020, 5:10 AM IST

ಪ್ರಿಯ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳೇ,
ಗಣಿತದ ಮೂಲ ಲಕ್ಷಣವೇ ಕ್ರಮಬದ್ಧತೆ ಮತ್ತು ನಿಖರತೆ. ಈ ಕಾರಣದಿಂದಲೇ ಕ್ರಮಬದ್ಧ ಕಲಿಕೆಯು ನಿಖರ, ಸ್ಪಷ್ಟ ಫ‌ಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಸುಗಮ ದಾರಿ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ. ಈಗಾಗಲೇ ಜಿಲ್ಲಾ, ರಾಜ್ಯ ಮಟ್ಟದ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವ ದಿನಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ನಡೆಸಿದ ಯೋಜನಾಬದ್ಧ ಕಲಿಕೆ ನಿಮ್ಮ ಮುಂದಿನ ಉತ್ತಮ ಫ‌ಲಿತಾಂಶಕ್ಕೆ ಪೂರಕವಾಗುವುದು. ಗಣಿತ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಹಂತಹಂತವಾಗಿ ಕಲಿಕೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ.

ಹಂತ 1
ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಬರುವ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿವೆ. ಗಣಿತದ್ದೇ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಇವು ಖಚಿತ ಘಟನೆಗಳು! ಇವುಗಳ ಸಂಭವನೀಯತೆ (probability)& 1.. ಪ್ರಮೇಯಗಳು (theorems)  -7 ಅಂಕಗಳಿಗೆ, ರಚನೆಗಳು (constructions) -5 ಅಂಕಗಳಿಗೆ, ಏಕಕಾಲಿಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ನಕ್ಷೆ (graph of linear equations in two variables) – 4/3 ಅಂಕಗಳು, ಓಜೀವ್‌ ರಚನೆ -3 ಅಂಕ. ಇವೆಲ್ಲವುಗಳನ್ನೂ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಲಿತುಕೊಂಡಿರುವಿರಿ. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ಇವುಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವುದಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತೆ ಮತ್ತೆ ಕಲಿಯಿರಿ. ಇಲ್ಲಿ ಸಮಯದ ಉಳಿತಾಯವಾಗುವುದೊಂದು ದೊಡ್ಡ ಲಾಭವೇ ಸರಿ. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಓದಿ ಕಲಿಯಲೇ ಬೇಡಿ; ಬರೆದು ಕಲಿಯಿರಿ.

ಹಂತ 2
ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಕೇಳುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಅತೀ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುವ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ಪಟ್ಟಿ ತಯಾರಿಕೆಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಬಿಡಿಸಿರುವ ಪ್ರಶ್ನೆಪತ್ರಿಕೆಗಳು, ಕಳೆದ ವರ್ಷದ ಪ್ರಶ್ನೆಪತ್ರಿಕೆಗಳು ಮತ್ತು ಕರ್ನಾಟಕ ಪ್ರೌಢಶಿಕ್ಷಣ ಪರೀಕ್ಷಾ ಮಂಡಳಿಯ ಮಾದರಿ ಪ್ರಶ್ನೆಪತ್ರಿಕೆಗಳು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯಕ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು (real numbers) ಪಾಠದಿಂದ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಾಧನೆ (proving irrational numbers),ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಮತ್ತು ಮ.ಸಾ.ಅ., ಲ.ಸಾ.ಅ. ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು (prime factorisation, HCF & LCM) -&2 ಅಂಕಗಳು.

ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು (polynomials) ಪಾಠದಿಂದ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಭಾಗಾಕಾರ, ಟ (x), ಟಿ (x) – r (x) ಕೊಟ್ಟಾಗ ಜ (x) ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು, ಶೂನ್ಯತೆಗಳ ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ವರ್ಗ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿ ಬರೆಯುವುದು (forming quadratic polynomials when zeros are given) ಇತ್ಯಾದಿ.

ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳುಳ್ಳ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಪಾಠದಿಂದ, ಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸುವುದು, ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಗುಣಕಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣದ ಲಕ್ಷಣಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಬಂಧ (relation between co-efficients and nature of equations)ಇತ್ಯಾದಿ.

ಸೂತ್ರದ ಸಹಾಯ ದಿಂದ ವರ್ಗಸಮೀಕರಣ ಬಿಡಿಸುವುದು.

ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಛಾಯೆ ಗೊಳಿಸಿದ ಭಾಗಗಳ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.

ದೂರ ಸೂತ್ರ (distance formula), ಮಧ್ಯಬಿಂದು ಸೂತ್ರ (mid point forumla) ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲೆಕ್ಕಗಳು, ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಧಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸು ವುದು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ತ್ರಿಭುಜದ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು.
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ (hmetic progression) ಗಳಲ್ಲಿ an, snಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸರಳ ಲೆಕ್ಕಗಳು, nನ ಬೆಲೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಲೆಕ್ಕಗಳು ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಲೆಕ್ಕಗಳು.

ಇದೇ ರೀತಿ ಎಲ್ಲ ಪಾಠಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಪಟ್ಟಿ ತಯಾರಿಸಿ ಈ ವಿಧದ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಕಡ್ಡಾಯವಾಗಿ ಕಲಿಯಬೇಕು.

ಈ ಎರಡನೇ ಹಂತಕ್ಕೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾಲ ಮೀಸಲಿಡಿ. ಗಡಿಬಿಡಿ ಸಲ್ಲದು. ಈ ಹಂತದ ಕಲಿಕೆ ಅತೀ ಪರಿಣಾಮಕಾರಿಯಾಗಲಿದೆ. ಪ್ರಯತ್ನಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರತಿಫ‌ಲ ದೊರೆಯು ವುದು ಇಲ್ಲಿಯೇ. ಹಾಗಾಗಿ ಇಲ್ಲಿಯ ತಯಾರಿ ಗಟ್ಟಿಯಾಗಿರಲಿ.

ಹಂತ 3
ಇದು ಒಂದು ಅಂಕದ ಪ್ರಶ್ನೆಯ ತಯಾರಿ. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳಿವೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಹೇಳಿಕೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ವಿಲೋಮಗಳಿವೆ. ಈ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಹೇಳಿಕೆಗಳನ್ನು ಕಂಠಪಾಠ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೂಲ ಪ್ರಮೇಯ, ಪೈಥಾಗೊರಾಸನ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಅದರ ವಿಲೋಮ (converse) ಪ್ರಮೇಯ. ಥೇಲ್ಸನ ಪ್ರಮೇಯ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್‌ನ‌ ಭಾಗಾಕಾರ ಅನುಪ್ರಮೇಯ (division lemma)ಇತ್ಯಾದಿ. ಈ ರೀತಿಯ ಹೇಳಿಕೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಕಡಿಮೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಕಲಿಯುವುದು ಸುಲಭ. ಕಲಿತಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ.

ಹಂತ 4
ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮಕ್ಕಳಿಗೆ ಕಷ್ಟ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಿರುವ, ಆದರೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಯತ್ನದಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ದಕ್ಕಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದಾದ ಪಠ್ಯಭಾಗಗಳಿವೆ. ಈ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕಲಿಯಲು ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.
ಈ ಪಠ್ಯಭಾಗಗಳು ಹೀಗಿವೆ.

ಎರಡು ಚರಾಕ್ಷರಗಳಿರುವ ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣದ ಜೋಡಿಗಳು ಪಾಠದಲ್ಲಿನ ಹೇಳಿಕೆ (verbal) ಲೆಕ್ಕಗಳು ವರ್ಗಸಮೀಕರಣಗಳು, ಪಾಠದ ಹೇಳಿಕೆಯ ಲೆಕ್ಕಗಳು, ತ್ರಿಕೋನ ಮಿತಿಯ ನಿತ್ಯ ಸಮೀಕರಣ ((trignometric identities)ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಲೆಕ್ಕಗಳು, ತ್ರಿಕೋನ ಮಿತಿಯ ಅನ್ವಯ (applications of trignometry) ದ ದೂರ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ ಲೆಕ್ಕಗಳು, ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು ಪಾಠದ ಅನ್ವಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು, ನಿರ್ದೇಶಾಂಕ ರೇಖಾಗಣಿತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಅನ್ವಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು.

ಇವುಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಲೆಕ್ಕಗಳು ನಿಮ್ಮ ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರಲ್ಲಿವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿಯೂ ಇರಬಹುದು. ಅವೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಂದೇ ಕಡೆ ಕ್ರೋಡೀಕರಿಸಿ ಬಿಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿರಿ. ಈ ರೀತಿಯ ಲೆಕ್ಕಗಳು ಹಾಡಿ ಹಾಡಿ ರಾಗ ಎನ್ನುವಂತೆ ಆಗಾಗ ಬಿಡಿಸು ವುದರಿಂದ ನಿಮ್ಮದಾಗುತ್ತವೆ.

ಹಂತ 5
5 ಅಂಕಗಳ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ತಯಾರಿ ನಡೆಸಿರಿ. ಯಾವ ಭಾಗದಿಂದ ಈ ಲೆಕ್ಕ ಕೇಳಬಹುದು ಎಂದು ಅಂದಾಜಿಸಿ ಆ ಬಗೆಯ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ ರೆಡಿಯಾಗಿರಿ. ಇದಕ್ಕೆ ಸೂಕ್ತವಾದ ಪಾಠಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸಿ.
ಉದಾ: ಮೇಲ್ಮೆ„ ವಿಸ್ತೀರ್ಣಗಳು ಮತ್ತು ಘನಫ‌ಲಗಳು, ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳು, ತ್ರಿಕೋನ ಮಿತಿಯ ಅನ್ವಯಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ ಪಾಠಗಳು ಸೂಕ್ತ. ಇವುಗಳೆಡೆಗೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಗಮನಹರಿಸಿ.

ಇವೆಲ್ಲವುಗಳ ಅನಂತರ ಉಳಿದ ಭಾಗ ಗಳನ್ನು ಕಲಿತುಕೊಳ್ಳಿ. ಒಂದು ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಹಂತದ ತಯಾರಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಉತ್ತೀರ್ಣ ರನ್ನಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಶೇ.90ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಧಿಸುವ ಹಂಬಲವಿರುವವರು ಐದೂ ಹಂತಗಳ ತಯಾರಿ ನಡೆಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಶಾಲಾ ಶಿಕ್ಷಕರ ನೆರವು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ. ನೂರಕ್ಕೆ ನೂರು ಅಂಕಗಳಿಗಾಗಿ ತಯಾರಿ ನಡೆಸುತ್ತಿರುವವರು ಪಠ್ಯದ ಯಾವ ಭಾಗವನ್ನೂ ಬಿಡುವಂತಿಲ್ಲ.

ಪರೀಕ್ಷಾ ದಿನದಂದು ಆತಂಕ ಬೇಡ. ಸಮಯದ ಅಭಾವ ಇರದು. ಪರೀಕ್ಷಾ ಮಂಡಳಿಯು ವಿವರಣಾತ್ಮಕ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಿರುವುದರ ಜತೆಗೆ ಪರೀಕ್ಷಾ ಅವಧಿಯನ್ನೂ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದೆ. ಹಾಗಾಗಿ ಆತಂಕ ಬೇಡ. ಸಮಯದ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ. ಗೊತ್ತಿರುವ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಮೊದಲಿಗೆ ಬಿಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಲೆಕ್ಕ ಬಿಡಿಸುವ ಹಂತಗಳನ್ನು ಚಾಚೂ ತಪ್ಪದೆ ಪಾಲಿಸಿ. ದತ್ತಾಂಶಗಳನ್ನು ಬರೆಯುವುದು, ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಸೂತ್ರ ಬರೆಯುವುದು, ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಆದೇಶಿಸುವುದು, ಸುಲಭರೂಪಕ್ಕೆ ತಂದು ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆದಿಡುವುದು- ಇವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ.

ಲೆಕ್ಕ ಬಿಡಿಸುವ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲ ವಾಗಿ ತಪ್ಪಾದರೆ ಆತಂಕ ಬೇಡ. ಅದನ್ನೇ ಬಿಡಿಸುತ್ತ ಕಾಲಹರಣ ಮಾಡದೆ ಉಳಿದ ಲೆಕ್ಕಗಳನ್ನು ಮಾಡಿ ಅನಂತರ ಮತ್ತೂಮ್ಮೆ ತಪ್ಪಾದ ಲೆಕ್ಕವನ್ನು ಮತ್ತೂಮ್ಮೆ ನಿರಾತಂಕವಾಗಿ ಓದಿಕೊಂಡು ಹೊಸದಾಗಿ ಬಿಡಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ. ಈಗ ತಪ್ಪುಗಳು ಮರುಕಳಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನೆಲ್ಲ ಬರೆದು ಕಲಿತಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಿ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಣ್ಣಾಡಿಸಿ ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಸಾಧ್ಯ. ಸಾಧ್ಯವಾದಲ್ಲಿ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಕೋಷ್ಠಕದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹಿಸಿ (ಸಹಗುಣಕಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಂಬಂಧ, ಮೇಲ್ಮೆ„ ವಿಸ್ತೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಘನಫ‌ಲಗಳ (areas and volumes) ಸೂತ್ರಗಳು, ಸಂಭವನೀಯತೆ ಪಾಠದ ವಿವಿಧ ವಾಖ್ಯೆಗಳು ಇತ್ಯಾದಿ). ಇದು ಕಲಿಕೆಗೆ ಬೇಕಾಗುವ ಸಮಯ ಮತ್ತು ಶ್ರಮ ಎರಡನ್ನೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿಸುತ್ತದೆ. ಇನ್ನುಳಿದ ದಿನಗಳ ತಯಾರಿ ಫ‌ಲಪ್ರದವಾಗಲಿ. ಶುಭಾಶಯಗಳು.

-ಪ್ರವೀಣ್‌ ಎಸ್‌.ಎಸ್‌., ಗಣಿತ ಶಿಕ್ಷಕರು ಮತ್ತು ಉಪಪ್ರಾಂಶುಪಾಲರು, ಪ್ರಿಯದರ್ಶಿನಿ ಆಂ. ಮಾ. ಶಾಲೆ, ಶಿವಮೊಗ್ಗ

ದಣಿವಾದಾಗ ವಿಶ್ರಮಿಸದಿರು, ಗುರಿ ಮುಟ್ಟಿದ ಬಳಿಕವಷ್ಟೇ ವಿರಮಿಸು – ಅರ್ನಾಲ್ಡ್‌ ಶ್ವಾಸ್‌ನೆಗ್ಗರ್‌